Question

【题目】已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线与双曲线C交于A，B两点，试问：k为何值时，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意结合双曲线过点即可得，由抛物线的焦点可得，即可得解；

（Ⅱ）设，，联立方程可得，，由可得，代入即可得解.

（Ⅰ）由题意设双曲线方程为，双曲线的半焦距为，

把代入得①,

又的焦点是，

∴，

与①联立，消去可得，解得或（不合题意舍去），

于是，

∴双曲线方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得双曲线方程为，∴该双曲线的渐近线为，

由直线与双曲线C交于A，B两点可得，

联立方程可得，

消去y得，

当即时，l与C有两个交点A，B，

设，，则，，

因为，故，

，

，

化简得，∴，检验符合条件，

故当时，．