Question

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求证：向量与向量不可能平行；
（2）若f（x）=•，且x∈[-，]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设∥就一定有2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0成立，整理出sin2x+cos2x=-3＜-2，矛盾．故不成立．
（2）先表示出f（x）=•=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．
解答：解：（1）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
∴2cos²x+sinxcosx+sin²x=0，2•+sin2x+=0，
即sin2x+cos2x=-3，
∴（sin2x+）=-3，与|（sin2x+）|≤矛盾，
故向量与向量不可能平行．
（2）∵f（x）=•=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=（cos2x+sin2x）=（sin2x+），
∵-≤x≤，
∴-≤2x+≤，
∴当2x+=，即x=时，f（x）有最大值；
当2x+=-，即x=-时，f（x）有最小值-1．
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．