Question

已知圆C：(x-a)²+(y-2)²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x-y+3=0的距离，
由勾股定理可知，，
代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1。
（Ⅱ）由（1）知圆，
又（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3），
由圆心到切线的距离d=r=2，可解得，
∴切线方程为5x-12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在，直线方程为x=3与圆相切；
由①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3。