题目内容

已知方向向量为 $数学公式$ 的直线l过椭圆 $数学公式$ 的焦点以及点（0， $数学公式$ ），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点， $数学公式$ （O坐标原点），求直线m的方程．

解：（1）l：y= $\text{[math]}$ ，
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周长为4 $\text{[math]}$ ，
则4a=4 $\text{[math]}$ ，即a= $\text{[math]}$ ，
∴b= $\text{[math]}$ ，
故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos∠MON≠0，
∴ $\text{[math]}$ sib $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
原点O到m的距离d= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴m的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）l：y= $\text{[math]}$ ，直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周长为4 $\text{[math]}$ ，知a= $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆方程．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能求出m的方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．