题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则a_n=， $数学公式$ 的最小值为．

n²-n+33 $\text{[math]}$
分析：先利用累加法求出a_n=33+n²-n，所以 $\text{[math]}$ ，设f（n）= $\text{[math]}$ ，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：∵a_n+1-a_n=2n，∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=n²-n+33
且对n=1也适合，所以a_n=n²-n+33．
从而 $\text{[math]}$
设f（n）= $\text{[math]}$ ，令f′（n）= $\text{[math]}$ ，
则f（n）在 $\text{[math]}$ 上是单调递增，在 $\text{[math]}$ 上是递减的，
因为n∈N₊，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$
故答案为：n²-n+33 $\text{[math]}$
点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

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