Question

【题目】定义在上的函数为增函数，对任意都有（为常数）

（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；

（2）设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

（3）若，，为的前项和，求正整数，使得对任意均有.

Answer 1

【答案】（1） 是奇函数（2）（3）

【解析】试题分析: （1）根据定义在R上的奇函数的性质，有，求得k的值，再根据，赋值，即可得到与之间的关系，根据奇函数的定义，即可证得结论；
（2）将代入恒等式可得，再利用恒等式进行赋值，将3转化为f（2），再根据f（x）的单调性去掉“f”，转化为对任意恒成立，采用换元法，再用变量分离出结果

（3）实际是找数列的最大值，根据通项的正负情况，前四项都是正数，从第五项起是负数，所以很容易找出的最大值为，再根据f(x)的单调性的结果；

试题解析:

（1）若在上为奇函数，则，令

则，所以

证明：由，令，，则

又，则有，即对任意成立，

所以是奇函数.

（2）因为，所以

所以对任意恒成立.

又是上的增函数，所以对任意恒成立，

即对任意恒成立.令，则恒成立,,令,g(t)在（0,1+）递减，在递增，最小值为g(所以实数的取值范围是.

(3)

因为；

当n≥5时，

,而>0得

所以，当n≥5时，＜0，所以对任意n∈N*恒有故k=4, ∵f(x)是增函数，所以