Question

【题目】已知函数，，其中e是自然对数的底数．

（1）若曲线在处的切线与曲线也相切．

①求实数a的值；

②求函数的单调区间；

（2）设，求证：当时，恰好有2个零点．

Answer 1

【答案】（1）①，②函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析

【解析】

（1）①利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再利用切线与曲线也相切，可求得的值；②由①知，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.

（2）由，得，令，，当时，，故在上单调递增，再利用零点存在定理证明函数的极小值小于0，及，即证得结论；

（1）①由得，所以切线的斜率．

因为切点坐标为，所以切线的方程为．

设曲线的切点坐标为．

由得，

所以，得．

所以切点坐标为．

因为点也在直线上．所以．

②由①知．

当时，，

因为恒成立，所以在上单调递增．

当时，．

所以．

因为恒成立，所以在上单调递增．

注意到，所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上，函数的单调减区间为，单调增区间为．

（2）由，得．

令，，当时，，

故在上单调递增．

又因为，且，

所以在上有唯一解，从而在上有唯一解．

不妨设为，则．

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

故是的唯一极值点．

令，则当时，，所以在上单调递减，

从而当时，，即，

所以，

又因为，所以在上有唯一零点．

又因为在上有唯一零点，为1，

所以在上恰好有2个零点．