Question

【题目】已知函数

（1）若函数有且只有一个零点，求实数的值

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用参变分离可得在有且只有一个根，再利用导数研究函数在的值域，即可得到答案；

（2）利用换元法将问题转化为在恒成立，构造函数，对分成和两种情况讨论.

（1）由题意得在有且只有一个根，

令，则，

当，，

在单调递减，在单调递增，且，

当时，，当时，，

时，函数有且只有一个零点.

（2）令，，

，即在恒成立，

令，则，

①当时，，当，，

在单调递减，在单调递增，且，

在恒成立，在单调递增，且，

恒成立，

时在恒成立；

②当时，，当，

在单调递减，在单调递增，

，时，，

设存在两根，且，

在，单调递增，在单调递减，

若时，，

则，解得：，

；

若时，，

则，解得：（舍去），

综上所述：.