Question

【题目】已知椭圆的离心率，且经过点，是抛物线上一点，过点作抛物线的切线，与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线平分弦，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）易得，结合椭圆的离心率及即可求出，的值，进而可得椭圆的方程；

（2）先根据题意得出切线的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可．

（1）由题意可知，，，

又，

所以，，

所以椭圆的方程是．

（2）由题意可设，

因为，即，所以，

所以切线的方程是，即，

将其代入椭圆方程得，

故，即．①

设，，则，

又直线平分弦，所以，

所以，即，②

将②代入①得，③

由②③得．

设，

则，恒成立，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

解得．