Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S_n＞

m

32

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2-2a_n+1+a_n=0?{a_n}是等差数列．再有a₁=8，a₄=2找到其公差即可．
（2）利用（1）的结论对数列b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*）进行裂项相消求和，找出S_n=b₁+b₂+…+b_n的表达式，再解不等式即可．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
∴{a_n}是等差数列．设公差为d，
又a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，
∴d=-2．∴a_n=-2n+10．

（2）b_n=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．
假设存在整数m满足S_n＞

m

32

总成立．
又S_n+1-S_n=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，
∴数列{S_n}是单调递增的．
∴S₁=

1

4

为S_n的最小值，故

m

32

＜

1

4

，
即m＜8．又m∈N^*，
∴适合条件的m的最大值为7．

点评：本题是对等差数列，裂项相消求和以及不等式的综合考查．裂项相消求和适用于通项为分式，其分子为常数，分母为某一等差数列中某两项的乘积的数列的求和．