Question

7．已知定义在R上的单调函数f（x）满足f[f（x）-x³]=10，函数g（x）=f（x）-3x+a，则当函数g（x）有3个零点时，a的取值范围为（　　）

• A． （-4，0）
• B． [0，4]
• C． （-6，0）
• D． [0，6]

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，即可得出g（x）的解析式，得出g（x）的极值，根据零点个数判断g（x）的极值与0的大小关系，列不等式组解出a的范围．

解答 解：设f（x₀）=10，则f（x）-x³=x₀，即f（x）=x³+x₀，
∴f（x₀）=x₀³+x₀=10，∴x₀=2，
∴f（x）=x³+2．
∴g（x）=x³-3x+a+2，令g′（x）=3x²-3=0得x=±1，
当x＜-1或x＞1时，g′（x）＞0，当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴当x=-1时，g（x）取得极大值g（-1）=4+a，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=a．
∵函数g（x）有3个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜0．
故选A．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数的单调性与函数的零点个数判断，属于中档题．