Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，$\frac{B}{4}$，C成等差数列．
（1）若b=$\sqrt{13}$，a=3，求c的值；
（2）设y=sinA•sinC，求y的值域．

Answer 1

分析 根据题意求出B的值为$\frac{2π}{3}$，
（1）利用余弦定理即可求得c的值；
（2）根据B的值，用A表示出C，化简函数y为正弦型函数，根据A的取值范围，即可求出y的值域．

解答 解：△ABC中，角A，$\frac{B}{4}$，C成等差数列，
∴$\frac{B}{2}$=A+C，又A+B+C=π，
∴$\frac{B}{2}$=π-B，解得B=$\frac{2π}{3}$；
（1）当b=$\sqrt{13}$，a=3时，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
13=9+c²-2×3c•cos$\frac{2π}{3}$，
整理得c²+3c-4=0，
解得c=1或c=-4（不合题意，舍去），
∴c的值为1；
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$-A，
∴y=sinA•sinC
=sinA•sin（$\frac{π}{3}$-A）
=sinA•（sin$\frac{π}{3}$cosA-cos$\frac{π}{3}$sinA）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA-$\frac{1}{2}$sin²A
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+$\frac{1}{4}$cos2A-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$cos2A）-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）；
又0＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{4}$＜y≤$\frac{1}{2}$，
即函数y的值域是（$\frac{1}{4}$，1]．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．