题目内容
1．
图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；
（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．
分析 （1）当点F与点C重合时，S△BEC=$\frac{1}{4}$S?ABCD，即$\frac{1}{2}$•EB•h=$\frac{1}{4}$AB•h，从而确定点E的位置；
（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0≤x＜10时，y=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，由二次函数求最小值，当10≤x≤20时，y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$，由基本不等式求最值；从而可得．
解答 解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=$\frac{1}{4}$S?ABCD，即$\frac{1}{2}$•EB•h=$\frac{1}{4}$AB•h，
其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=$\frac{1}{2}$AB，即点E是AB的中点．
（2）∵点E在线段AB上，
∴0≤x≤20，
当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，
∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，
∴S?ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=100$\sqrt{3}$．
由S△EBF=$\frac{1}{2}$x•BF•sin120°=25$\sqrt{3}$，得BF=$\frac{100}{x}$，
∴由余弦定理得，
y=EF=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{100}{x}）^{2}-2x•\frac{100}{x}•cos120°}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$，
当0≤x＜10时，点F在线段CD上，
由S四边形EBCF=$\frac{1}{2}$（x+CF）×10×sin60°=25$\sqrt{3}$得CF=10-x，
当BE≥CF时，EF=$\sqrt{1{0}^{2}+（2x-10）^{2}-2×10×（2x-10）cos120°}$，
当BE＜CF时，EF=$\sqrt{1{0}^{2}+（10-2x）^{2}-2×10×（10-2x）cos60°}$，
化简均为y=EF=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{{x}^{2}-5x+25}，0≤x＜10}\\{\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}，10≤x≤20}\end{array}\right.$；
当0≤x＜10时，y=2$\sqrt{{x}^{2}-5x+25}$，当x=$\frac{5}{2}$时，y有最小值ymin=5$\sqrt{3}$，此时CF=$\frac{15}{2}$；
当10≤x≤20时，y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{10000}{{x}^{2}}+100}$≥10$\sqrt{3}$＞5$\sqrt{3}$，
故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式与二次函数的性质应用，属于中档题．
黄冈创优卷系列答案
如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且$\frac{h_1}{h}$=$\frac{1}{3}$，若将圆锥倒置，水面高为h2，则$\frac{h_2}{h}$等于$\frac{\root{3}{19}}{3}$．| A． | {x|3＜x＜7} | B． | {x|3＜x＜10} | C． | {x|3＜x＜4} | D． | {x|4＜x＜7} |
| A． | 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β | B． | 若a∥β，a∥b，则b∥β | ||
| C． | 若a∥α，b∥α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α | D． | 若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b |