Question

已知函数f（x）=2x³+3ax²-12bx+3在x=-2和x=1处有极值．
（Ⅰ）求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据极值的定义得出

f′(-2)=0 f′(1)=0

，解方程组得出a，b，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f′（x）＞0得单调递增区间，f′（x）＜0得单调递减区间；
（Ⅲ）分别求得函数在[-3，3]的极值和端点值，得出最大值及最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax-12b
又因为函数y=f（x）在x=-2和x=1处有极值，
所以

f′(-2)=0 f′(1)=0

，解得

a=1 b=1

，
所以f（x）=2x³+3x²-12x+3…（4分）
（Ⅱ） f'（x）=6（x+2）（x-1）
由f'（x）＞0，得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0，得-2＜x＜1
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），递减区间为（-2，1）…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=0，得x=-2或x=1f（-2）=23，f（1）=-4，f（-3）=12，f（3）=48
所以f（x）的最大值为f（3）=48，最小值为f（1）=-4…（12分）

点评：本题考查函数导数与单调性，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．