Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

．
（I）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知棱PA上有一点E，若二面角E-BD-A的大小为45．，求AE：EP的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据勾股定理得BC⊥PB，由ABCD为矩形，得BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面ABCD．
（Ⅱ）以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，设

AE

=λ

AP

，根据二面角E-BD-A的大小为45°，代入向量夹角公式，求出λ值，可得答案．

解答： （Ⅰ）证明：∵PAB为正三角形，AB=2，
∴PB=AB=2，
∵BC=

2

，PC=

6

，
∴PC²=BC²+PB²
∴根据勾股定理得BC⊥PB
∵ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PB，AB∈面PAB且交于点B
∴BC⊥面PAB
∵BC∈面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：取AB中点H，以H为原点建立如图所示的空间坐标系H-xyz，
设

AE

=λ

AP

，0＜λ＜1，
由题意知B（-1，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），
D（1，

2

，0），

BD

=(2，

2

，0)，

BA

=（2，0，0），

AE

=λ

AP

=λ(-1，0，

3

）=（-λ，0，

3

λ）
则

BE

=

BA

+

AE

=（2-λ，0，

3

λ）．…（5分）
设平面设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • BD =0 n • BE =0

，解得

n

=(-

3

λ，

6

λ，2-λ)．…（7分）
又平面ABD的一个法向量为

m

=（0，0，

3

），
∵二面角E-BD-A的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜

n

，

m

＞|

|2 3 - 3 λ|

3 × 10λ2-4λ+4

=

2

2

，
又∵0＜λ＜1，解得λ=

1

2

，
∴AE：EP=1．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的几何特征，平面与平面垂直的判定，用空间求平面间的夹角，难度中档．