Question

若实数a，b满足a²+b²=1且c＜a+b，恒成立，则c的取值范围是

c＜-

2

．

Answer 1

分析：c＜a+b恒成立，只须c小于a+b的最小值即可．可利用基本不等式a²+b²≥2ab得到：2（a²+b²）≥2ab+a²+b²=（a+b）²，从而可求得a+b的取值范围．

解答：解：∵a²+b²=1，
∴由基本不等式a²+b²≥2ab得：2（a²+b²）≥2ab+a²+b²=（a+b）²，
即（a+b）²≤2（a²+b²）=2，
∴-

2

≤a+b≤

2

，
若c＜a+b恒成立，则c＜（a+b）的最小值-

2

．即c＜-

2

．
故答案为：c＜-

2

．

点评：本题考查基本不等式，难点在于寻找已知条件a²+b²=1与所求a+b（的取值范围）之间的联系，即（a+b）²≤2（a²+b²），当然也可以利用圆的参数方程，借助三角函数的辅助角公式来解决，属于中档题．