Question

（2013•大兴区一模）若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根的概率为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  3π+2

  4π

• D．

  π-2

  4π

Answer 1

分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根，则点（a，b）满足a+b＞1，即在单位圆内且直线a+b=1的上方．由此结合几何概型计算公式，用图中弓形的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．

解答：解：∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，
即单位圆及其内部，如图所示
若关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根，
则满足△=4-4（a+b）＜0，解之得a+b＞1
符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的上方，
其面积为S₁=

1

4

π×1²-

1

2

×1×1=

π-2

4

又∵单位圆的面积为S=π×1²=π
∴关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根的概率为P=

S1

S

=

π-2 4

π

=

π-2

4π

故选：D

点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程无实数根的概率，着重考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．