Question

（2013•大兴区一模）若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根的概率是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  3π+2

  4π

• D．

  π-2

  4π

Answer 1

分析：由题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得满足a²+b²≤1的点（a，b）在单位圆及其内部，如图所示．若关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，则点（a，b）满足a+b≤1，即在单位圆内且直线a+b=1的下方．由此结合几何概型计算公式，用图中黄色阴影部分的面积除以单位圆的面积，即可得到所求的概率．

解答：解：∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，
即单位圆及其内部，如图所示
若关于x的方程x²-2x+a+b=0有实数根，
则满足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1
符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b=1的下方，
其面积为S₁=

3

4

π×1²+

1

2

×1×1=

3π

4

+

1

2

，
又∵单位圆的面积为S=π×1²=π
∴关于x的方程x²-2x+a+b=0无实数根的概率为P=

S1

S

=

3π 4 + 1 2

π

=

3π+2

4π

故选：C

点评：本题给出a、b满足的关系式，求关于x的方程有实数根的概率，着重考查了弓形面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．