Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）求证：PA//平面EDB；

（2）求证：PF=PB；

（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，设法证明，注意到OE平面EDB，PA平面EDB，即可证得PA//平面EDB；

（2）设，由可得，即可求出，从而证得PF=PB

（3）分别求出平面PBD的一个法向量是，平面PBC的一个法向量是，利用向量夹角公式可得二面角C-PB-D的大小为

试题解析：（1）以D为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=1，则，，，，，

连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点，

E是PC的中点，∴，

，，PA//OE

OE平面EDB，PA平面EDB，，∴PA//平面EDB

（2）设，

则

∵EF⊥PB，∴

即，解得，PF=PB

（3）平面PBD的一个法向量是

平面PBC的一个法向量是

所以，，二面角C-PB-D的大小为

考点：线面平行判定定理，利用空间向量解决有关问题