Question

已知函数，.

（1）设.

① 若函数在处的切线过点，求的值；

② 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；

（2）设函数，且，求证：当时，.

Answer 1

（1）①，②，（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）①利用导数几何意义求切线斜率：，函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得.②利用导数研究函数单调性，再根据函数单调性确定没有零点的条件：因为，所以根据导函数有无零点分类讨论；当时，，，；当时，函数在上有最小值为，令，解得；（2）由题意，，要确定其最小值，需多次求导，反复确定求单调性，最后确定

试题解析：（1）由题意，得，

所以函数在处的切线斜率， 2分

又，所以函数在处的切线方程，

将点代入，得. 4分

（2）当，可得，因为，所以，

①当时，，函数在上单调递增，而，

所以只需，解得，从而. 6分

②当时，由，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以函数在上有最小值为，

令，解得，所以.

综上所述，. 10分

（3）由题意，，

而等价于，

令， 12分

则，且，，

令，则，

因， 所以， 14分

所以导数在上单调递增，于是，

从而函数在上单调递增，即. 16分

考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性