Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+b+a．
（1）当a=1时，求函数取得最大值与最小值时x的集合；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的性质，当x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，k∈Z时，f（x）有最大值，当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，k∈Z时，f（x）有最小值．
（2）由x∈[0，π]，可得，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，显然a≠0，分①当a＞0时和②当a＜0时两种情况，分别根据f（x）的值域，求得a、b的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+b+1，
当x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z时，f（x）有最大值，此时{x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，
当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z时，f（x）有最小值，此时{x|x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z}；
（2）f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+）+a+b，
∵x∈[0，π]，∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1．
显然a≠0，
①当a＞0时，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$a，
∴b≤f（x）≤（$\sqrt{2}$+1）a+b，
而f（x）的值域是[3，4]，
∴b=3，（$\sqrt{2}$+1）a+b=4，
解得a=$\sqrt{2}$-1，
②当a＜0时，$\sqrt{2}$a≤$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）≤-a，$\sqrt{2}$a+a+b≤f（x）≤b，而f（x）的值域是[3，4]，
故有，$\sqrt{2}$a+a+b=3，且b=4，解得a=1-$\sqrt{2}$，b=4．
综上可得，a=$\sqrt{2}$-1，b=3或a=1-，b=4．

点评 本题主要考查复合三角函数的最值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．