Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，Q为椭圆C的左顶点，斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，当∠AQB=$\frac{π}{2}$时，直线1过x轴上的定点N，则点N的坐标为N（-$\frac{2}{5}$，0）或（$-\frac{6}{5}，0$）．

Answer 1

分析 由题意方程求出左顶点坐标，设出直线方程y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B两点横坐标的和与积，结合∠AQB=$\frac{π}{2}$，可得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，转化为含有m，k的关系式，把m用含有k的代数式表示，代入直线方程可得点N的坐标．

解答 解：如图，

由题意可知Q（-2，0），设AB所在直线方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
△=64k²m²-（4+16k²）（4m²-4）=16-16m²+64k²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠AQB=$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
又$\overrightarrow{QA}=（{x}_{1}+2，{y}_{1}），\overrightarrow{QB}=（{x}_{2}+2，{y}_{2}）$，
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得：$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+（km+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}+4=0$．
即$（{k}^{2}+1）•\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-（km+2）•\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²+4=0．
∴（5m-2k）（5m-6k）=0．
则5m-2k=0或5m-6k=0．
当5m-2k=0，即m=$\frac{2k}{5}$时，△＞0成立，直线l：y=kx+$\frac{2}{5}k$，直线过定点（-$\frac{2}{5}$，0）；
当5m-6k=0，即m=$\frac{6k}{5}$时，△＞0成立，直线l：y=kx+$\frac{6k}{5}$，直线过定点（$-\frac{6}{5}，0$）．
综上，直线1过x轴上的定点N（-$\frac{2}{5}$，0）或（$-\frac{6}{5}，0$）．
故答案为：N（-$\frac{2}{5}$，0）或（$-\frac{6}{5}，0$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查了直线系方程问题，是中档题．