Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤².

(1)求f(1)的值；

(2)证明a>0，c>0；

(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.

Answer 1

 (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，

当x＝1时，f(1)≥1，

又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤²＝1，

∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.

(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，

a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.

∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，

∴ax²－x＋c≥0对x∈R恒成立，

∴∴c>0，故a>0，c>0.

(3)证明：∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．

∴f(x)＝x²＋x＋.

∴g(x)＝f(x)－mx＝x²＋x＋＝[x²＋(2－4m)x＋1]．

∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，

∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.