Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁B₁C；
（Ⅲ）求二面角M-B₁C-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接BC₁，AC₁．利用矩形的性质和三角形的中位线定理可得MN∥BC₁．再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）如图，以B₁为坐标原点建立空间直角坐标系，则B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）．利用数量积

MN

•

B1C

=0，

MN

•

A1B1

=0即可证明MN⊥平面A₁B₁C；
（III）利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：连接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N分别是AB，A₁C的中点，∴MN∥BC₁．
又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁．
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（II）如图，以B₁为坐标原点建立空间直角坐标系，则B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）．
∴

B1C

=（0，2，2），

A1B1

=（2，0，0），

NM

=（0，-1，1）．
∴

MN

•

B1C

=0-2-2=0，

MN

•

A1B1

=0+0+0=0，
∴MN⊥B₁C，MN⊥A₁B₁．
又B₁C∩A₁B₁=B₁，
∴MN⊥平面A₁B₁C；
（III）设平面B₁CM的法向量为

m

=（x，y，z）．
∵

B1M

=（-1，0，2），

B1C

=（0，2，2）．
∴

m • B1M =-x+2z=0 m • B1C =2y+2z=0

，令x=2，则z=1，y=-1，∴

m

=(2，-1，1)．
由（II）可知：

NM

=（0，-1，1）是平面A₁B₁C的法向量．
∴cos＜

m

，

NM

＞=

m • NM

| m | | NM |

=

2

6 • 2

=

3

3

．
由图可知：二面角M-B₁C-A₁的平面角是锐角．
∴二面角M-B₁C-A₁的余弦值是

3

3

．

点评：本题综合考查了直棱柱的性质、矩形的性质和三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量证明线面垂直和求二面角的余弦值等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力和推理能力，属于难题．