Question

10．已知点M（1，2），N（3，2），点F是直线l：y=x-3上的一动点，当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆的方程是（x-2）²+（y-1）²=2．

Answer 1

分析 根据题意，设圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x-2相切，由此可确定出圆的标准方程．

解答 解：根据题意，设圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x-2相切．
∴$\sqrt{（2-1）^{2}+（a-2）^{2}}$=$\frac{|2-a-3|}{\sqrt{2}}$，
∴a=1或9，
a=1时，r=$\sqrt{2}$，∠MCN=90°，∠MFN=45°，
a=9时，r=5$\sqrt{2}$，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°，
则所求圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=2．
故答案为（x-2）²+（y-1）²=2．

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，直线与圆相切的性质，属于中档题