Question

已知中心在原点O，左右焦点分别为F₁，F₂的椭圆的离心率为

6

3

，焦距为2

2

，A，B是椭圆上两点．
（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；
（2）动点P满足：

OP

=

OA

+3

OB

，直线OA与OB的斜率的乘积为-

1

3

，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：压轴题,向量与圆锥曲线

分析：（1）根据椭圆的离心率为

6

3

，焦距为2

2

，建立方程组，求出几何量，可得椭圆的方程，分类讨论，设直线AB为：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，可得4m²-3k²-3=0，根据直线AB与以原点为圆心的圆相切，即可求此圆的方程；
（2）利用

OP

=

OA

+3

OB

，确定坐标之间的关系，由直线OA与OB的斜率的乘积为-

1

3

，可得

y1y2

x1x2

=-

1

3

，即x₁x₂+3y₁y₂=0，结合A，B在椭圆上，即可求动点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由

c a = 6 3 2c=2 2 b2=a2-c2

，解得：

a= 3 b=1 c= 2

．
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
①设直线AB为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1x2=

3(m2-1)

1+3k2

，
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•

3(m2-1)

1+3k2

+km•(

-6km

1+3k2

)+m2=0，
即4m²-3k²-3=0．
∵直线AB与以原点为圆心的圆相切，
∴圆的半径r=

|m|

k2+1

，则r2=

m2

k2+1

=

3

4

．
∴圆的方程为x2+y2=

3

4

；
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±

3

2

，满足上述方程．
综上，所求圆的方程为：x2+y2=

3

4

．
（2）设P（x，y），
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由：

OP

=

OA

+3

OB

，得

x=x1+3x2 y=y1+3y2

，
又直线OA与OB的斜率的乘积为-

1

3

，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

3

，即x₁x₂+3y₁y₂=0．
∵A，B在椭圆上，
∴

x12

3

+y12=1，

x22

3

+y22=1．
联立

x=x1+3x2 y=y1+3y2 x1x2+3y1y2=0 x12+3y12=3 x22+3y22=3

，消去x₁，x₂，y₁，y₂，得x²+3y²=30．
当OA斜率不存在时，即x₁=0，得y₁=±1，y₂=0，x2=±

3

．
此时x=±3

3

．
同理OB斜率不存在时，x=±3

3

．
∴动点P的轨迹方程为x²+3y²=30（x≠±3

3

）．

点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，难度大．