Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）函数f(x)=x+

1

x

为奇函数
证明：对于函数f(x)=x+

1

x

，其定义域为{x|x≠0}
因为对于定义域内的每一个x，
都有f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，
所以，函数f(x)=x+

1

x

为奇函数
（2）设任意x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

已知x₁，x₂∈[1，+∞），则x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函数

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．