Question

如图，已知椭圆Γ：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据离心率e=

2

2

，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设PQ的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k_PN+k_QN=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b=2，又e=

2

2

，即

a2-4

a

=

2

2

，解得a=2

2

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

8

=1．…（4分）
（Ⅱ）假设存在点N（x₀，0）满足题设条件．
当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x₀∈R； …（6分）
当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程化简得：
（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2

2+k2

，x1x2=

k2-8

2+k2

则kPN+kQN=

y1

x1-x0

+

y 2

x2-x0

=

k(x1-1)

x1-x0

+

k(x2-1)

x2-x0

=

k(x1-1)(x2-x0)+k(x2-1)(x1-x0)

(x 1-x0)(x2-x0)

=

2(k2-8)

2+k2

-

2(1+x0)k2

2+k2

+2x0…（10分）
若∠PNM=∠QNM，则k_PN+k_QN=0
即k[

2(k2-8)

2+k2

-

2(1+x0)k2

2+k2

+2x0]=0，整理得4k（x₀-4）=0
因为k∈R，所以x₀=4
综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．