Question

15．已知f（x）=|2x+1|+|x-$\frac{1}{2}$|（x∈R）．
（1）关于x的不等式f（x）≥2a²-a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设m，n，p，q为正实数，且m+n=f（-$\frac{1}{2}$），求证：（mp+nq）²≤mp²+nq²．

Answer 1

分析 （1）画出函数图象，利用数学结合得出函数的最小值，解二次不等式即可；
（2）由题意可知m+n=1，利用综合法证明：mp²+nq²-（mp+nq）²=m（1-m）p²+n（1-n）q²-2mnpq=mn（p-q）²≥0．

解答 解：f（x）=|2x+1|+|x-$\frac{1}{2}$|，
画出函数图象如图：
函数的最小值为1，
∵f（x）≥2a²-a恒成立，
∴1≥2a²-a恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$≤a≤1；
（2）设m，n，p，q为正实数，且m+n=f（-$\frac{1}{2}$），
∴m+n=1，（mp+nq）²≤mp²+nq²．
∵mp²+nq²-（mp+nq）²
=m（1-m）p²+n（1-n）q²-2mnpq
=mn（p-q）²≥0．
∴（mp+nq）²≤mp²+nq²．
故结论成立．

点评 本题考查了绝对值函数的画图和不等式的证明．属于常规题型，应熟练掌握．