Question

具有性质：f（

1

x

）=-f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y=x-

1

x

；②y=x+

1

x

；③y=lnx（x＞0）④y=

x，(0＜x＜1) y，(x=1) - 1 x (x＞1)

其中满足“倒负”变换的函数是

①③④

．

Answer 1

分析：新定义具有性质：f（

1

x

）=-f（x）的函数，称为满足“倒负”变换的函数，题目给出的四个函数中，除最后一个是分段函数外，其余三个给出的是常见的解析式，我们只要把解析式中的x换成

1

x

，整理后看是否等于f（-x）就可以了，最后一个分段函数，在0＜x＜1时，

1

x

＞1，在-

1

x

中把x换

1

x

，x=1时

1

x

=1，f(

1

x

)=0，x＞1时0＜

1

x

＜1，x换成

1

x

解答：解：对于f(x)=x-

1

x

，有f(

1

x

)=

1

x

-

1

1 x

=

1

x

-x=-(x-

1

x

)=-f（x），满足“倒负”变换；
对于f(x)=x+

1

x

，有f(

1

x

)=

1

x

+

1

1 x

=x+

1

x

=f（x），不满足“倒负”变换；
对于f（x）=lnx，有f(

1

x

)=ln

1

x

=-lnx=-f（x），满足“倒负”变换；
对于f(x)=

x(0＜x＜1) 0(x=1) - 1 x (x＞1)

，有f(

1

x

)=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

-f(x)=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

所以f(

1

x

)=-f(x)，满足“倒负”变换．
故答案为①③④．

点评：本题是新定义下的函数解析式的求解问题，解题的关键是求f(

1

x

)，特别是对函数④的分析，既要考虑取倒数后变量的范围，又要在原函数解析式中把x换成

1

x

．