题目内容

数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），又a1=5，则使得{
an+λ3n
}为等差数列的实数λ=
 
．
分析：因为数列{
an+λ
3n
}为等差数列，设bn=
an+λ
3n
，则2bn=bn-1+bn+1，根据数列的递推式化简可得λ的值即可．
解答：解：设bn=
an+λ
3n
，根据题意得bn为等差数列即2bn=bn-1+bn+1，而数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），
可取n=2，3，4得到
3a1+32-1+λ
32
+
3a3+34-1+λ
34
=2
3a2+33-1+λ
33
，
而a2=3a1+32-1，a3=3a2+33-1=3（3a1+32-1）=9a1+33-3，代入化简得λ=-
1
2
．
故答案为：-
1
2
点评：此题考查学生运用等差数列的性质进行化简求值，会利用数列的递推式进行化简．学生做题时应利用消元的数学思想化简求值．
练习册系列答案
相关题目
已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．
（1）求a3的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．
3、数列{an}满足递推关系式an+2=an+1+2an，n∈N*且a1=a2=1则a5=
11
．
数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，
（Ⅰ）求a1，a2，a3；  
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{
an+λ3n
}为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和．
（2009•孝感模拟）已知函数f（x）=
1
2
x2-x+2，数列{an}满足递推关系式：an+1=f（an），n≥1，n∈N，且a1=1．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，an＜2-
1
n-1
；
（3）证明：当n≥5时，有
n
k=1
1
ak
＜n-1．

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