Question

（2009•孝感模拟）已知函数f（x）=

1

2

x²-x+2，数列{a_n}满足递推关系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，a_n＜2-

1

n-1

；
（3）证明：当n≥5时，有

n

k=1

1

ak

＜n-1．

Answer 1

分析：（1）由题意，先得数列的递推关系式为an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，再依次代入可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）先证明当n=5时，结论成立；再假设结论对n=k（k≥5）成立，利用函数f(x)=

1

2

(x-1)2 +

3

2

在x＞1时为增函数，，可以证得当n=k+1时结论也成立．从而命题成立；
（3）由数列的递推关系式为an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，利用裂项法求和，问题可证．

解答：解：（1）根据a₁=1及an+1=

1

2

a

2 n

-an+2计算易得a2=

3

2

，a3=

13

8

，a4=

217

128

       …（3分）
（2）证明：①a5=

1

2

(

217

128

)2-

217

128

+2=2-

217

128

(1-

1

2

•

217

128

)，
而

217

128

(1-

1

2

•

217

128

) =

217

128

• 

39

256

＞

1

4

，故a₅＜2

1

4

，即当n=5时，结论成立．…（5分）
②假设结论对n=k（k≥5）成立，ak＜2-

1

k-1

．
因an+1=

1

2

(an-1)2+

3

2

≥，而函数f(x)=

1

2

(x-1)2 +

3

2

在x＞1时为增函数，所以
ak+1＜

1

2

(2-

1

k-1

-1)2+

3

2

=2-

1

k-1

+

1

2(k-1)2

＜2-

1

k

，
即当n=k+1时结论也成立．
综合①、②可知，不等式an＜2-

1

n-1

对一切n≥5都成立．…（9分）
（3）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，而a₁=1，于是         …（11分）

n

k-1

1

ak

=

n

k-1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

-1
于是当n≥5时，an+1＜2-

1

n

，故

1

2-an+1

＜n所以

n

k-1

1

ak

=

1

2-an+1

-1＜n-1．…（14分）

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查数列的递推公式，考查数列与函数的关系，考查数学归纳法，关键是第二步的推理论证，对于数列中的求和问题，应主要裂项法的应用．