Question

已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=

1

an

，求证：|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）．

Answer 1

分析：（1）由题设知a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，

1

2

）．由此能求出a₃的取值范围；（2）用数学归纳法进行证明，证明过程中要注意合理地进行等价转化．
（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)变形为：|

1

2 -1

-

1

an

|＜

1

2n

•

1

( 2 -1)|an|

=

2 +1

2n

•

1

|an|

，由此入手能够得到证明．

解答：解：（1）∵a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，

1

2

）．
∵a3=

1

2

(1-

a

2 2

)及a2∈(0，

1

2

)∴a3∈(

3

8

，

1

2

)．(3分)
（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，

3

8

＜a3＜

1

2

，
则-

1

8

＜

3

8

-(

2

-1)＜a3-(

2

-1)＜

1

2

-(

2

-1)＜

1

8

，
于是当n=3时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

成立．
②假设在n=k（k≥3）时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（*）成立，即|ak-(

2

-1)|＜

1

2k

．
则当n=k+1时，|ak+1-(

2

-2)|=|

1

2

-

1

2

a

2 k

-(

2

-1)|=

1

2

|ak-(

2

-1)|•|ak+

2

-1|，
其中0＜ak+

2

-1＜2(

2

-1)+

1

2k

＜1(k≥3)
于是|ak+1-(

2

-1)|＜

1

2

|ak-(

2

-1)|＜

1

2k+1

，
从而n=k+1时（*）式得证．
综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(

2

-1)|＜

1

2n

．

（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)变形为：|

1

2 -1

-

1

an

|＜

1

2n

•

1

( 2 -1)|an|

=

2 +1

2n

•

1

|an|

，
而由

2

-1-

1

2n

＜an＜

2

-1+

1

2n

（n≥3，n∈N）
可知：

2

-1-

1

8

＜an＜

2

+1+

1

8

在n≥3上恒成立，
于是

1

an

＜

1

2 -1- 1 8

，

2 +1

an

＜

2 +1

2 -1- 1 8

＜12，
又∵|an-(

2

-1)|＜

1

2n

，∴|

1

an

-(

2

+1)|＜

12

2n

，
从而原不等式|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）得证．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设中的隐含条件，注意数学归纳法的解题过程．