Question

11．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的3名学生中得分在[80，90）内的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率公式和图求出样本容量n，由频率分布直方图中的数据求出x、y的值；
（2）先求出分数在[80，90）、[90，100]内的学生人数，求出抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值，由概率公式分别求出它们的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX．
（3）由排列组合知识可求得．

解答 解：（1）由题意可知，样本容量$n=\frac{8}{0.016×10}=50$，$y=\frac{2}{50×10}=0.004$，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，共7人．抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为1，2，3，则$P（X=1）=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$，$P（X=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_2^0}{C_7^3}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$．

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

所以X的分布列为
所以$EX=1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}=\frac{15}{7}$．
（3）由于竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生数为：（0.010+0.004）×10×50=7，分数在[80，90）内的学生有5人，
∴抽取的3名学生中得分在[80，90）内的概率为：$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{2}{7}$．

点评 本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题