Question

6．已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为$\sqrt{5}$，圆C与离心率$e＞\frac{1}{2}$的椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的其中一个公共点为A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可设圆C的方程为（x-m）²+y²=5（m＜3），将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）²+1=5．由此能求出圆C的方程．
（2）直线PF₁能与圆C相切，设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，利用直线PF₁与圆C相切，求出k，再分别验证，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知可设圆C的方程为（x-m）²+y²=5（m＜3），
将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）²+1=5，即（3-m）²=4，
解得m=1或m=5，∵m＜3，∴m=1．∴圆C的方程为（x-1）²+y²=5．
（2）直线PF₁与圆C相切，依题意设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，
即kx-y-4k+4=0，
若直线PF₁与圆C相切，则$\frac{{|{k-0-4k+4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$．
∴4k²-24k+11=0，解得$k=\frac{11}{2}$或$k=\frac{1}{2}$．
当$k=\frac{11}{2}$时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为$\frac{36}{11}$，不合题意，舍去．
当$k=\frac{1}{2}$时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4，∴c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0）．
∴由椭圆的定义得2a=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（3-4）^{2}+{1}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴a=3$\sqrt{2}$，∴e=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{1}{2}$，故直线PF₁与圆C能相切．
∴直线PF₁的方程为x-2y+4=0，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题主要考查了圆的标准方程的求解，直线与圆相切性质的应用及椭圆定义的应用，点到直线的距离公式的运用，试题具有一定综合性．