Question

已知z、ω为复数，（1+3i）z为实数，ω=

z

2+i

，且|ω|=5

2

，求z，ω．

Answer 1

分析：设z=x+yi（x，y∈R），利用（1+3i）z为实数，其虚部为0，|ω|=5

2

联立得出关于x，y的方程，求出x，y后，再求出z，ω．

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），
∵（1+3i）z=（1+3i）（x+yi）=（x-3y）+（3x+y）i∈R
∴虚部3x+y=0，即y=-3x       …．（2分）
又因ω=

z

2+i

=

x+yi

2+i

=

x-3xi

2+i

=

-x-7xi

5

且|ω|=5

2

，…．（4分）
∴

(-x)2+(-7x)2

25

=50，…（6分）
解之得x=5或-5                                 …．（8分）
∴z=5-15i或-5+15i                               …．（10分）
∴ω=1+7i或ω=-1-7i．                        …．（12分）

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，涉及到复数的分类、复数模的计算．