Question

如图，△CDE中∠CDE=90°，平面CDE外一条线段AB满足AB∥DE，AB=DE，AB⊥AC，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）若AC=AD，证明：AF⊥平面CDE．

Answer 1

考点：

直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（I）在平面BCE内作AF的平行线，通过线线平行证明线面平行；

（II）根据线面垂直的性质证线线垂直，再由线线垂直⇒线面垂直．

解答：

解：（I）取CE的中点O，连接BO、OF．

∵O、F分别是CD与CE的中点，∴OF∥DE，OF=DE，

又AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABOF为平行四边形，∴AF∥BO

AF⊄平面BCE，BO⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（II）∵AB⊥AC，AB∥DE，∴DE⊥AC，

又DE⊥CD，CD∩AC=C，∴DE⊥平面ACD

∵AF⊂平面ACD，∴AF⊥DE；

∵F是CD的中点，AC=AD，∴AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE．

点评：

本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定．线面平行的证明方法：1、线线平行⇒线面平行；2、面面平行⇒线面平行．线面垂直的证明方法：1、线线垂直⇒线面垂直；2、面面垂直⇒线面垂直；3、⇒线面垂直．