题目内容
（2013•资阳模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（含边界）的动点，设向量| AP |
| AB |
| AF |
分析：如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①
=
时，m+n=4．②
=
及点P位于线段CE上时，m+n=3．③除了①、②的情况满足3＜m+n＜4，．综上可得：3≤m+n≤4．
| AP |
| AD |
| AP |
| AM |
解答：解：如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．
①
=
+
+
，
=
，
=
，∴
=
+
+
，化为
=2
+2
，
与向量
=m
+n
（m，n为实数）比较可得：m+n=4．
②
=
+
+
=
+
+
，又
=
，
+
=
．
∴2
=
+
+2
，又
=
，
∴
=
+
，即
=
+
，∴此时m+n=3．
③当点P位于线段CE上时，记作Q，则
=
=
+
=
+λ
=
+λ
=
+λ(
-
)，此时m+n=3．
④当点P不在线段CE上时，
=
+
=
+λ
=(1+λ)
（
≥1+λ＞1）．
∴3＜（1+λ）（m+n）≤4．
综上可得：3≤m+n≤4．
故选C．
①
| AD |
| AB |
| BC |
| CD |
| CD |
| AF |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AD |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| AF |
| AD |
| AB |
| AF |
与向量
| AP |
| AB |
| AF |
②
| AM |
| AB |
| BC |
| CM |
| AF |
| FE |
| EM |
| BC |
| FE |
| CM |
| EM |
| 0 |
∴2
| AM |
| AB |
| AF |
| BC |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| AM |
∴
| 2 |
| 3 |
| AM |
| AB |
| AF |
| AM |
| 3 |
| 2 |
| AB |
| 3 |
| 2 |
| AF |
③当点P位于线段CE上时，记作Q，则
| AQ |
| AP |
| AM |
| MP |
| AM |
| EC |
| AM |
| FB |
| AM |
| AB |
| AF |
④当点P不在线段CE上时，
| AP |
| AQ |
| QP |
| AQ |
| AQ |
| AQ |
| 4 |
| 3 |
∴3＜（1+λ）（m+n）≤4．
综上可得：3≤m+n≤4．
故选C．
点评：本题考查了正六边形的性质、向量的加法和共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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