题目内容
（2011•温州二模）如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足为E，AE=3，CE=9，（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
分析：（1）证明平面ABCD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理，只需在平面ABCD中找出平面ADE的一条垂线即可；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH，则∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角，先求∠FHE的正弦，进而可得二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH，则∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角，先求∠FHE的正弦，进而可得二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
解答：
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD
在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
设正方形ABCD的长为x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴x=3
∴DE=6
过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH
∴∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角
在直角△ADE中，AD=3
，AE=3，DE=6
∵AD•EF=AE•DE，∴EF=
=
，
∴DF=
，∴FH=
∴EH=
在直角△DFH中，EF=
，EH=
，
∴sin∠FHE=
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值为-
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
设正方形ABCD的长为x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴x=3
| 5 |
∴DE=6
过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH
∴∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角
在直角△ADE中，AD=3
| 5 |
∵AD•EF=AE•DE，∴EF=
| AE•DE |
| AD |
6
| ||
| 5 |
∴DF=
| 12 | ||
|
6
| ||
|
∴EH=
6
| ||
|
在直角△DFH中，EF=
| 6 | ||
|
6
| ||
|
∴sin∠FHE=
| ||
| 3 |
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值为-
| ||
| 3 |
点评：本题以多面体为载体，考查面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定定理，正确作出面面角．
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