Question

如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设

AP

=α

AB

+β

AF

(α，β∈R)，则α+β的取值范围是（　　）

A．[3，4]

B．[3，5]

C．[2，4]

D．[4，5]

Answer 1

分析：建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P的坐标，确定动点P的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到α，β与x，y的关系代入点P的可行域得α，β的可行域，即可求出α+β的取值范围

解答：解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），C（3，

3

），D（2，2

3

），E（0，2

3

），F（-1，

3

）
则EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因为P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为

x+  3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 3 x+y-4 3 ≤0

     
又

AP

=α

AB

+β

AF

(α，β∈R)，
则

AP

=(x，y)，

AB

=(2，0)，

AF

=(-1，

3

)，
所以（x，y）=α（2，0）+β（-1，

3

）
∴x=2α-β，y=

3

β  
∴

(2α-β )+ 3β-6≥0 3 ≤ 3 β≤2 3 3 (2α-β )+ 3 β-4 3 ≤0

∴

α+β≥3 1≤β≤2 α≤2

∴3≤α+β≤4．
故选A．

点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围．