Question

函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的周期与单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）图象过点（

π

6

，

1

2

），代入方程结合φ的范围，求φ的值；
（Ⅱ）化简函数的表达式，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调减区间，求函数y=g（x）的周期与单调递减区间．

解答：解：（1）由条件知

1

2

=

3

4

sinφ+

1

4

cosφ=

1

2

sin(φ+

π

6

)
∴φ+

π

6

=

π

2

?φ=

π

3

（2）由（1）代入得

f(x)= 1 2 sin2x 3 2 +cos2x 1 2 - 1 2 cosφ

=

1

2

sin2x

3

2

+

1+cos2x

2

1

2

-

1

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴函数g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∴函数y=g（x）的周期为T=

π

2

递减区间为[

π

12

+

1

2

kπ，

π

3

+

1

2

kπ]

&(k∈Z)

点评：本题是中档题，考查三角函数的值的求法，考查三角函数的化简，函数的单调性，图象的平移变换，是常考题型，考查计算能力．