Question

已知函数f（x）=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出f（x）的表达式；
（Ⅱ）利用平移规律得出g（x）的解析式，g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=-k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，利用正弦函数图象即可确定出k的范围．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx=sin（2ωx+

π

3

），
由题意知，最小正周期T=2×

π

4

=

π

2

，而T=

2π

|2ω|

=

π

2

，
∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到y=sin（4x-

π

6

）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x-

π

6

）的图象，
∴g（x）=sin（2x-

π

6

），
令2x-

π

6

=t，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤t≤

5π

6

，
∵g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=-k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，
∴由正弦函数的图象可知-

1

2

≤-k＜

1

2

或-k=1，
∴-

1

2

＜k≤

1

2

或k=-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，平移规律，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．