f(x)=ex(ax2+x+1).且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.的单调性,(2)证明:当时.|f|＜2. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行。
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当

时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2。

解：（1）

由条件知

故

于是

故当

时，

＜0；
当

时，

＞0
从而f（x）在

，

单调减少，在

单调增加。
（2）由（1）知

在

单调增加，故f（x）在

的最大值为

，
最小值为

从而对任意

，

，
有

而当

时，

从而

。

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对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=e^x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

已知函数f（x）=e^x+3x²-ax．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥

时恒成立，试求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）当a=1时，设g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）已知2^

＞x^m对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数m的取值范围．

（2014•江门模拟）已知函数f（x）=e^x（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（1）求常数a，b的值；
（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；
（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

已知函数f（x）=e^x-

-ax-1，（其中a∈R．无理数e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=-

时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥

时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的最大值．