Question

已知函数f（x）=e^x-

x2

2

-ax-1，（其中a∈R．无理数e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=-

1

2

时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥

1

2

时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，求得切线的斜率，再利用点斜式，可得切线方程；
（Ⅱ）由f（x）≥0，分离参数可得a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，确定右边所对应函数的单调性，求出其最小值，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）a=-

1

2

时，函数f（x）=e^x-

x2

2

+

1

2

x-1，求导数可得f′（x）=e^x-x+

1

2

∴f′（1）=e-

1

2

，f（1）=e-1
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-1）=（e-

1

2

）（x-1），即（e-

1

2

）x-y-

1

2

=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x-

1

2

x²-1，因为x≥

1

2

，所以a≤

ex- 1 2 x2-1

x

．
令g（x）=

ex- 1 2 x2-1

x

，则g′（x）=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．
令h（x）=e^x（x-1）-

1

2

x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．
因为x≥

1

2

，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[

1

2

，+∞）上单调增
所以h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

1

2

e

＞0
所以g′（x）＞0
∴g（x）在[

1

2

，+∞）上单调增
∴g（x）≥g（

1

2

）=2

e

-

9

4

∴a≤2

e

-

9

4

∴a的最大值为2

e

-

9

4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确构建函数是关键．