Question

已知函数f（x）=e^x+3x²-ax．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥

7

2

x2+ax+1在x≥

1

2

时恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导函数f'（x），由f'（0）=0，求出a的值，从而求得f（1）与f'（1），写出y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）由f（x）≥

7

2

x2+ax+1在x≥

1

2

时恒成立，得不等式2a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，构造函数 g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，利用导函数求g（x）在[

1

2

，+∞)上的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+3x²-ax，∴f'（x）=e^x+6x-a，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=e⁰-a=0，∴a=1，
∴f（x）=e^x+3x²-x，f'（x）=e^x+6x-1，
∴f（1）=e+2，f'（1）=e+5，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-（e+2）=（e+5）（x-1），即y=（e+5）x-3．
（2）∵f（x）=e^x+3x²-ax，且f(x)≥

7

2

x2+ax+1，
∴ex+3x2-ax≥

7

2

x2+ax+1，
即 2ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴2a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，
令 g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，则g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．  
令 φ(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，则φ'（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

，
∴2a≤2

e

-

9

4

，即a的取值范围是(-∞，

e

-

9

8

]．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性与求函数最值的问题，也考查了应用导数求曲线的切线方程与不等式恒成立问题，是难题．