Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，AA₁=1，F在棱AB（不含端点）上，且C₁F与底面ABCD所成角的大小为45°
（Ⅰ）证明：直线D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）构造DM⊥CD，则以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，欲证直线D₁B₁⊥平面FCC₁，只需证明 垂直，且垂直即可；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空间直角坐标系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可设出后由其与 、垂直得到，此时求出两法向量的夹角余弦值，则易得二面角B-FC₁-C的余弦值．
解答：证明：（Ⅰ）因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），D₁（0，0，1），B₁（，，1），
∴=（，，0），
B（，，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），F（，，0），
=（0，0，1），=（，-，0）
∵•=0，且•=0
故垂直，且垂直
即D₁B₁⊥CC₁且D₁B₁⊥C₁F
又∵CC₁∩C₁F=C₁，
故直线D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）由（I）可知平面FCC₁的一个法向量=（，，0），
设平面BFC₁的法向量为 ，
∵，=（，-，0）
则 所以 ，
取 ，
则 ，，
，
所以 ，
由图可知二面角B-FC₁-C为锐角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值为 ．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，其中建立适当的坐标系，将空间问题转化为向量问题，是解答本题的关键．