题目内容
15、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：EF∥平面A1BC1；
（2）求证：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．
分析：（1）连接AC，则AC∥A1C1，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，然后再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
解答：解：（1）连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，
则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）
又A1C1?平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）
∴EF∥AC，
则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1（7分）
（2）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，
则A1C1⊥平面D1DBB1（12分）
又A1C1?平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1（14分）
点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．
练习册系列答案
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