Question

（本小题满分12分）已知函数．
（I）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（II）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由？
（III）当时，证明：．

Answer 1

（1）（2）（3）略

（I）                  …………………………………1分
在上单调递减，因此当时，恒成立
即，化简得（）
令，即，………………………………4分
（II），         …………………………………5分
当时
，，单调递减；，，单调递增；
，         
当时，，单调递减，，（舍）
综上                                    ………………………………8分
（III）由（II）可知
令，，       …………………………………9分
当时，，单调递增，
即恒成立                …………………………………12分