Question

（本小题满分14分）已知，函数．
（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

，

解：（1）∵，∴.……………………1分
∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立． 2分
即在上恒成立，…………………………………………………3分
，∴．
故实数的取值范围为．……………………………………………………4分
（2）∵，令得．………………5分
①若，则当时，，所以在区间上是增函数，
所以．………………………………………………………………6分
②若，即，则当时，，所以在区间上是增函数，所以．……………………………………………………………7分
③若，即，则当时，；当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．…………………………………………………………8分
④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．
所以．………………………………………………………………9分
综上所述，函数在区间的最小值…10分
（3）由题意有两个不相等的实数解，
即
（2）中函数的图像与直线有两个
不同的交点．…………………………………………………………11分
而直线恒过定点，
由右图知实数的取值范围是．…………………………14分