Question

（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．

（Ⅰ）证明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）证明：ABCD=ACCE．

Answer 1

详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结BC，∵CD是⊙O的切线，C为切点，由弦切角定理知∠ACD=∠ABC，

因为∠AOC是三角形OBC的外角，要证∠AOC=2∠ACD，只要证∠OCB=∠ABC；

（Ⅱ）要证ABCD=ACCE，只需证,只要证Rt△ABC∽Rt△CED，所以只要利用圆周角和弦切角证明∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD即可.

试题解析： 证明：（Ⅰ）连结BC，∵CD是⊙O的切线，C为切点，

∴∠ACD=∠ABC，

∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，

又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，

∴∠AOC=2∠AC D．

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，

∵CD是⊙O的切线，C为切点，OC为半径，

∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，

∴OC∥AD，又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，

∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴，

∴ABCD=ACCE．

考点：1、圆周角；2、弦切角.